Australianul a devenit, de asemenea, primul pilot cu două victorii în acest sezon după patru curse și a pus capăt lungii așteptări a campionilor en-titre de la McLaren pentru o victorie pe circuitul de la Sakhir, care aparține proprietarilor echipei, din Bahrain.
Norris a terminat pe locul trei, după ce a ocupat poziția a șasea pe grila de start și a fost nevoit să se lupte cu o penalizare de cinci secunde pentru un start greșit.
George Russell de la Mercedes i-a ținut piept colegului său britanic pentru locul doi într-o luptă tensionată în ultimele tururi, dar s-a confruntat cu o anchetă a comisarilor pentru presupusa utilizare a sistemului de reducere a rezistenței la înaintare în afara zonei definite.
"A fost un weekend incredibil, începând cu calificările de ieri și terminând treaba astăzi cu stil este frumos", a declarat Piastri, care a câștigat cu 15,499 secunde în ciuda unei perioade de siguranță care i-a șters avansul inițial.
"Este foarte important având în vedere proprietarii noștri. Nu a fost niciodată o pistă care să ne fie favorabilă, așa că este frumos să avem prima noastră victorie aici."
Norris are acum 77 de puncte față de 74 ale lui Piastri, în timp ce McLaren cumulează 151 în clasamentul constructorilor, urmați de Mercedes cu 93.
Charles Leclerc și Lewis Hamilton de la Ferrari au ocupat locurile patru și cinci.
Max Verstappen, cvadruplul campion mondial al Red Bull, care a fost la doar un punct în spatele lui Norris după victoria din Japonia de la sfârșitul săptămânii trecute, a terminat pe locul șase. Pierre Gasly a câștigat primele puncte ale Alpine în această campanie, pe locul șapte.
Esteban Ocon, care s-a accidentat puternic în calificări, s-a răscumpărat cu locul opt pentru Haas, iar Yuki Tsunoda a adus prima dublă clasare în puncte a anului pentru Red Bull, cu locul nouă.
Ultimul punct pentru Haas a fost obținut de debutantul britanic Oliver Bearman, care a plecat ultimul